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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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1. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
d) f(x)=e(x−1)2f(x)=e^{(x-1)^{2}}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

No hay ninguna restricción, el dominio es R\mathbb{R}.

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=2(x−1)e(x−1)2 f'(x) = 2(x-1)e^{(x-1)^2}

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

2(x−1)e(x−1)2=0  2(x-1)e^{(x-1)^2} = 0 

Atenti a esta manera de razonar ecuaciones como estas. En clases vimos varios ejemplos: Tenemos varios factores multiplicandose y esa multiplicación nos está dando cero, pero acordate que la exponencial jamás vale cero, la única chance que esta multiplicación de cero es si x−1=0x-1 = 0, es decir, x=1x=1. 

Por lo tanto, x=1x=1 es punto crítico.

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

□(−∞,1)\square (-\infty, 1)
□(1,+∞)\square (1, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En (−∞,1)⇒f′(x)<0→(-\infty, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto ff es decreciente

En (1,+∞)⇒f′(x)>0→(1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto ff es creciente

Intervalo de crecimiento: (1,+∞)(1, +\infty)
Intervalo de decrecimiento: (−∞,1)(-\infty, 1)

Por lo tanto, el punto crítico x=1x=1 resultó ser un mínimo.
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